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Grundlagen der Finanzmathematik

Von Dr. Oliver Everling | 1.Januar 2008

Diskretion macht bei Finanzgeschäften oft den entscheidenden Unterschied, so auch in der Finanzmathematik: Das Buch „Grundlagen der Finanzmathematik“ von Dr. Stefan Ebenfeld im Schäffer-Poeschel Verlag (ISBN 978-3-7910-2634-3, www.schaffer-poeschel.de) unterscheidet nach dem übergeordneten Kriterium diskreter Zeit zwischen „Finanzmathematik in diskreter Zeit“ und „Finanzmathematik in stetiger Zeit“.

Recht einfach geht es noch bei den Einperioden-Finanzmarktmodellen zu, wenn es in diesem Kontext um Arbitrage und Bewertung von Derivaten geht. Werden die gleichen Phänomene aber vor dem Hintergrund der elementaren Wahrscheinlichkeitstheorie gesehen, nachdem also Mengenalgebren, Zufallsvariablen, bedingte Erwartungswerte, Filtrationen, stochastische Prozesse, Martingale, Stoppzeiten und der in der Wahrscheinlichkeitstheorie zentrale Begriff der Unabhängigkeit eingeführt wurden, wird rasch die Komplexität der Herausforderung klar, die Realität der Finanzmärkte in Zahlen abzubilden.

In der Finanzmathematik in stetiger Zeit tritt die Brownsche Bewegung an die Stelle des Random Walk, der im Rahmen des Binomialmodells Preisprozesse in diskreter Zeit abzubilden hilft. Ebenfeld stützt sich bei der Modellierung einer Vielzahl stochastischer Prozesse (Preisprozesse, Zinsraten, Wechselkurse) in stetiger Zeit auf Itosche Integrale. Kernthema ist für ihn die Entwicklung der stochastischen Integrationstheorie, das die Konstruktion des Itoschen Integrals ermöglicht.

Bei der Lektüre des Buches fällt auf, dass Ebenfeld den Satz von Doob über Optional Sampling sowie die Doobsche Maximalungleichung heranzieht, ohne die Beweisführungen zu vermitteln. Dafür werden aber beispielsweise die Feynman-Kac Formeln für Diffusionsgleichungen bewiesen, die eine Brücke zwischen den stochastischen und partiellen Differentialgleichungen schlagen. Beweise werden auch für Ortogonalitätsrelationen für Itosche Integrale, die Eindeutigkeit der Itoschen Zerlegung für Itosche Prozesse sowie schließlich die Itosche Formel geführt. Ebenfeld fasst diese als Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für Itosche Integrale auf.

Der Wert des Buches von Ebenfeld besteht darin, sich explizit mit der finanzmathematischen Modellierung von Aktien- und Bondmärkten, aber auch von Wechselkursrisiko, Inflationsrisiko bis hin zu Kreditrisiko zu befassen. Zur Zinsstrukturmodellierung werden zum Beispiel das Black ’76 Modell, die Shortrate Modelle, die Heath-Jarrow-Morton Modelle, das LIBOR Forwardrate Modell (Brace-Garatek-Musiela Modell), das LIBRO Swaprate Modell wie auch die Markov-Funktional Modelle herangezogen.

Drucktechnisch fällt am vorliegenden Titel auf, dass offenbar die Seitenränder sehr knapp kalkuliert wurden. Damit erinnert es ein wenig an die Skripte des Vorlesungszyklus, aus dem es hervorgegangen ist. Das Lehrbuch richtet sich an Studenten der Mathematik und der Physik an der Technischen Universität Darmstadt, die bereits erste Vorkenntnisse der Analysis und der linearen Algebra besitzen. Darüber hinaus ist der Titel für jeden angehenden Ratinganalysten eine Empfehlung, um ein Verständnis finanzmathematischer Finanzmarktmodellierungen zu gewinnen, zumal auch die wichtigsten Klassen struktureller (Merton und Black-Cox) und formreduzierter Kreditrisikomodelle zur Sprache kommen.

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